{l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.5x+y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$0.5x=-y+9$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

-y+9 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+18$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+18 चा विकल्प वापरा, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

-2y+18 ला 1.6 वेळा गुणाकार करा.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

-\frac{16y}{5} ते \frac{y}{5} जोडा.

$$-3y+28.8=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28.8 वजा करा.

$$-3y=-15.8$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18 मध्ये y साठी \frac{79}{15} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

\frac{79}{15} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

18 ते -\frac{158}{15} जोडा.

$$x=\frac{112}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} आणि \frac{8x}{5} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1.6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.5 ने गुणाकार करा.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

सरलीकृत करा.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.8x+1.6y=14.4 मधून 0.8x+0.1y=6.5 वजा करा.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{4x}{5} ते -\frac{4x}{5} जोडा. \frac{4x}{5} आणि -\frac{4x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

\frac{8y}{5} ते -\frac{y}{10} जोडा.

$$1.5y=14.4-6.5$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 14.4 ते -6.5 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$1.5y=7.9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13 मध्ये y साठी \frac{79}{15} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{79}{15} चा 0.2 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{79}{75} वजा करा.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1.6 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{112}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$