{l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.2x+0.1y=-180$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{y}{10} वजा करा.

$$0.2x=-0.1y-180$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

-\frac{y}{10}-180 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-0.5y-900$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}-900 चा विकल्प वापरा, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

-\frac{y}{2}-900 ला -0.7 वेळा गुणाकार करा.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

\frac{7y}{20} ते -\frac{y}{5} जोडा.

$$0.15y+630=480$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 630 वजा करा.

$$0.15y=-150$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.15 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1000$$

x=-0.5y-900 मध्ये y साठी -1000 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

-1000 ला -0.5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=500-900$$

-900 ते 500 जोडा.

$$x=-400$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-400,y=-1000$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-400,y=-1000$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

\frac{x}{5} आणि -\frac{7x}{10} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -0.7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.2 ने गुणाकार करा.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

सरलीकृत करा.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -0.14x-0.07y=126 मधून -0.14x-0.04y=96 वजा करा.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

-\frac{7x}{50} ते \frac{7x}{50} जोडा. -\frac{7x}{50} आणि \frac{7x}{50} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

-\frac{7y}{100} ते \frac{y}{25} जोडा.

$$-0.03y=126-96$$

126 ते -96 जोडा.

$$-0.03y=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.03 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1000$$

-0.7x-0.2y=480 मध्ये y साठी -1000 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

-1000 ला -0.2 वेळा गुणाकार करा.

$$-0.7x+200=480$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 200 वजा करा.

$$-0.7x=280$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.7 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-400$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-400,y=-1000$$