{l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

b, c साठी सोडवा

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3+3b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3b+c=-3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला b विलग करून, b साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून c वजा करा.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

-c-\frac{1}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये b साठी c+\frac{1}{3} चा विकल्प वापरा, 3b+c=-3.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

c+\frac{1}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3c+1+c=-3$$

3c ते c जोडा.

$$4c+1=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$4c=-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$c=-1$$

b=c+\frac{1}{3} मध्ये c साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} ते -1 जोडा.

$$b=-\frac{2}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3+3b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3b+c=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे b आणि c घटक बाहेर काढा.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3+3b+c=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$3b+c=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -b+c=-\frac{1}{3} मधून 3b+c=-3 वजा करा.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

c ते -c जोडा. c आणि -c रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

-b ते -3b जोडा.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

-\frac{1}{3} ते 3 जोडा.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$b=-\frac{2}{3}$$

3b+c=-3 मध्ये b साठी -\frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण c साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

-\frac{2}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2+c=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$c=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$