{l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x-5y=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$-x=5y+14$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(5y+14\right)$$

5y+14 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-5y-14$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y-14 चा विकल्प वापरा, -2x-7y=16.

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

-5y-14 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$10y+28-7y=16$$

10y ते -7y जोडा.

$$3y+28=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$3y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-4$$

x=-5y-14 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

-4 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=20-14$$

-14 ते 20 जोडा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

-x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

सरलीकृत करा.

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+10y=-28 मधून 2x+7y=-16 वजा करा.

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y-7y=-28+16$$

10y ते -7y जोडा.

$$3y=-28+16$$

-28 ते 16 जोडा.

$$3y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-4$$

-2x-7y=16 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

-4 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+28=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-2x=-12$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-4$$