{l}{-x+y=3}{2x+2y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x+y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$-x=-y+3$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(-y+3\right)$$

-y+3 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=y-3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y-3 चा विकल्प वापरा, 2x+2y=2.

$$2\left(y-3\right)+2y=2$$

y-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-6+2y=2$$

2y ते 2y जोडा.

$$4y-6=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$4y=8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=2$$

x=y-3 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2-3$$

-3 ते 2 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

-x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\times 3,-2x-2y=-2$$

सरलीकृत करा.

$$-2x+2y=6,-2x-2y=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x+2y=6 मधून -2x-2y=-2 वजा करा.

$$-2x+2x+2y+2y=6+2$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+2y=6+2$$

2y ते 2y जोडा.

$$4y=6+2$$

6 ते 2 जोडा.

$$4y=8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=2$$

2x+2y=2 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+2\times 2=2$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$2x=-2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=2$$