{l}{-x+y=2}{2y=9x+9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$2y-9x=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x+y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$-x=-y+2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

-y+2 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y-2 चा विकल्प वापरा, -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

y-2 ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$-9y+18+2y=9$$

-9y ते 2y जोडा.

$$-7y+18=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-7y=-9$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{7}$$

x=y-2 मध्ये y साठी \frac{9}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

-2 ते \frac{9}{7} जोडा.

$$x=-\frac{5}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$2y-9x=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$2y-9x=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

-x आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

सरलीकृत करा.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9x-9y=-18 मधून 9x-2y=-9 वजा करा.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

9x ते -9x जोडा. 9x आणि -9x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y+2y=-18+9$$

-9y ते 2y जोडा.

$$-7y=-18+9$$

-18 ते 9 जोडा.

$$-7y=-9$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{9}{7}$$

-9x+2y=9 मध्ये y साठी \frac{9}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

\frac{9}{7} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{7} वजा करा.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$