{l}{-9y=13x+81}{1/9y=1+5/81x} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 y = 13 x + 81 } \\ { \frac { 1 } { 9 } y = 1 + \frac { 5 } { 81 } x } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-9$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13x वजा करा.

$$-9y-13x=81$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{81}x वजा करा.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-9y-13x=81$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13x जोडा.

$$-9y=13x+81$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{9}\left(13x+81\right)$$

13x+81 ला -\frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{13}{9}x-9$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{13x}{9}-9 चा विकल्प वापरा, \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1.

$$\frac{1}{9}\left(-\frac{13}{9}x-9\right)-\frac{5}{81}x=1$$

-\frac{13x}{9}-9 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{13}{81}x-1-\frac{5}{81}x=1$$

-\frac{13x}{81} ते -\frac{5x}{81} जोडा.

$$-\frac{2}{9}x-1=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$-\frac{2}{9}x=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-9$$

y=-\frac{13}{9}x-9 मध्ये x साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{13}{9}\left(-9\right)-9$$

-9 ला -\frac{13}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$y=13-9$$

-9 ते 13 जोडा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13x वजा करा.

$$-9y-13x=81$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{81}x वजा करा.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{81}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{-13}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\\-\frac{\frac{1}{9}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{9}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}&\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}\times 81+\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}\times 81-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=-9$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13x वजा करा.

$$-9y-13x=81$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{81}x वजा करा.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

-9y आणि \frac{y}{9} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{9} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{9}\left(-9\right)y+\frac{1}{9}\left(-13\right)x=\frac{1}{9}\times 81,-9\times \frac{1}{9}y-9\left(-\frac{5}{81}\right)x=-9$$

सरलीकृत करा.

$$-y-\frac{13}{9}x=9,-y+\frac{5}{9}x=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y-\frac{13}{9}x=9 मधून -y+\frac{5}{9}x=-9 वजा करा.

$$-y+y-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

-\frac{13x}{9} ते -\frac{5x}{9} जोडा.

$$-2x=9+9$$

9 ते 9 जोडा.

$$-2x=18$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-9$$

\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1 मध्ये x साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}\left(-9\right)=1$$

-9 ला -\frac{5}{81} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1}{9}y+\frac{5}{9}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{9} वजा करा.

$$\frac{1}{9}y=\frac{4}{9}$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने गुणाकार करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-9$$