{l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-9x-y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$-9x=y-3$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

y-3 ला -\frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} चा विकल्प वापरा, -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

-\frac{y}{9}+\frac{1}{3} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

\frac{8y}{9} ते 2y जोडा.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{8}{3} जोडा.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{26}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

-6 ला -\frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

-9x आणि -8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने गुणाकार करा.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

सरलीकृत करा.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 72x+8y=24 मधून 72x-18y=180 वजा करा.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

72x ते -72x जोडा. 72x आणि -72x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y+18y=24-180$$

8y ते 18y जोडा.

$$26y=24-180$$

24 ते -180 जोडा.

$$26y=-156$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$y=-6$$

-8x+2y=-20 मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

-6 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-8x-12=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$-8x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-6$$