{l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-9x-7y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$-9x=7y+17$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

7y+17 ला -\frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-7y-17}{9} चा विकल्प वापरा, 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

\frac{-7y-17}{9} ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

-\frac{70y}{9} ते 7y जोडा.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{170}{9} जोडा.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-5$$

x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9} मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

-5 ला -\frac{7}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{17}{9} ते \frac{35}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

-9x आणि 10x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने गुणाकार करा.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -90x-70y=170 मधून -90x-63y=135 वजा करा.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

-90x ते 90x जोडा. -90x आणि 90x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-70y+63y=170-135$$

-70y ते 63y जोडा.

$$-7y=170-135$$

170 ते -135 जोडा.

$$-7y=35$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=-5$$

10x+7y=-15 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

-5 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$10x-35=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$10x=20$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-5$$