{l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-9x-6y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6y जोडा.

$$-9x=6y+6$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

6+6y ला -\frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y-2}{3} चा विकल्प वापरा, 3x-6y=-18.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

\frac{-2y-2}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y-2-6y=-18$$

-2y ते -6y जोडा.

$$-8y-2=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-8y=-16$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

2 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{2}{3} ते -\frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -9x-6y=6 मधून 3x-6y=-18 वजा करा.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

-6y ते 6y जोडा. -6y आणि 6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9x-3x=6+18$$

-9x ते -3x जोडा.

$$-12x=6+18$$

6 ते 18 जोडा.

$$-12x=24$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=-2$$

3x-6y=-18 मध्ये x साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6-6y=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-6y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=2$$