{l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-8x+7y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$-8x=-7y+13$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

-7y+13 ला -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y-13}{8} चा विकल्प वापरा, 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

\frac{7y-13}{8} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

\frac{49y}{8} ते -9y जोडा.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{91}{8} जोडा.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{23}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

3 ला \frac{7}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{13}{8} ते \frac{21}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -8 ने गुणाकार करा.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -56x+49y=91 मधून -56x+72y=160 वजा करा.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

-56x ते 56x जोडा. -56x आणि 56x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$49y-72y=91-160$$

49y ते -72y जोडा.

$$-23y=91-160$$

91 ते -160 जोडा.

$$-23y=-69$$

दोन्ही बाजूंना -23 ने विभागा.

$$y=3$$

7x-9y=-20 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-9\times 3=-20$$

3 ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-27=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 27 जोडा.

$$7x=7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$