{l}{-8x+4y=8}{8x-y=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-8x+4y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$-8x=-4y+8$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

-4y+8 ला -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}-1 चा विकल्प वापरा, 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

\frac{y}{2}-1 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$4y-8-y=16$$

4y ते -y जोडा.

$$3y-8=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$3y=24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=8$$

x=\frac{1}{2}y-1 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=4-1$$

-1 ते 4 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

-8x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -8 ने गुणाकार करा.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

सरलीकृत करा.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -64x+32y=64 मधून -64x+8y=-128 वजा करा.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

-64x ते 64x जोडा. -64x आणि 64x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$32y-8y=64+128$$

32y ते -8y जोडा.

$$24y=64+128$$

64 ते 128 जोडा.

$$24y=192$$

दोन्ही बाजूंना 24 ने विभागा.

$$y=8$$

8x-y=16 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x-8=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$8x=24$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=8$$