{l}{-7x+8y=-1}{-6x-4y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 8 y = - 1 } \\ { - 6 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{29}{19} = -1\frac{10}{19} \approx -1.526315789$$

$$y = -\frac{111}{76} = -1\frac{35}{76} \approx -1.460526316$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-7x+8y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$-7x=-8y-1$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8y-1\right)$$

-8y-1 ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y+1}{7} चा विकल्प वापरा, -6x-4y=15.

$$-6\left(\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}\right)-4y=15$$

\frac{8y+1}{7} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{48}{7}y-\frac{6}{7}-4y=15$$

-\frac{48y}{7} ते -4y जोडा.

$$-\frac{76}{7}y-\frac{6}{7}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{6}{7} जोडा.

$$-\frac{76}{7}y=\frac{111}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{76}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{111}{76}$$

x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7} मध्ये y साठी -\frac{111}{76} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{111}{76}\right)+\frac{1}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{111}{76} चा \frac{8}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{222}{133}+\frac{1}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{7} ते -\frac{222}{133} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{29}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{3}{38}&-\frac{7}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 15\\\frac{3}{38}\left(-1\right)-\frac{7}{76}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{29}{19}\\-\frac{111}{76}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

-7x आणि -6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने गुणाकार करा.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=-6\left(-1\right),-7\left(-6\right)x-7\left(-4\right)y=-7\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$42x-48y=6,42x+28y=-105$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 42x-48y=6 मधून 42x+28y=-105 वजा करा.

$$42x-42x-48y-28y=6+105$$

42x ते -42x जोडा. 42x आणि -42x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-48y-28y=6+105$$

-48y ते -28y जोडा.

$$-76y=6+105$$

6 ते 105 जोडा.

$$-76y=111$$

दोन्ही बाजूंना -76 ने विभागा.

$$y=-\frac{111}{76}$$

-6x-4y=15 मध्ये y साठी -\frac{111}{76} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-6x-4\left(-\frac{111}{76}\right)=15$$

-\frac{111}{76} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-6x+\frac{111}{19}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{111}{19} वजा करा.

$$-6x=\frac{174}{19}$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=-\frac{29}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$