{l}{-7x+4y=-6}{2x-5y=218} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 4 y = - 6 } \\ { 2 x - 5 y = 218 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{842}{27} = -31\frac{5}{27} \approx -31.185185185$$

$$y = -\frac{1514}{27} = -56\frac{2}{27} \approx -56.074074074$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-7x+4y=-6,2x-5y=218$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-7x+4y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$-7x=-4y-6$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-4y-6\right)$$

-4y-6 ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{6}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4y+6}{7} चा विकल्प वापरा, 2x-5y=218.

$$2\left(\frac{4}{7}y+\frac{6}{7}\right)-5y=218$$

\frac{4y+6}{7} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{7}y+\frac{12}{7}-5y=218$$

\frac{8y}{7} ते -5y जोडा.

$$-\frac{27}{7}y+\frac{12}{7}=218$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{12}{7} वजा करा.

$$-\frac{27}{7}y=\frac{1514}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{27}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{1514}{27}$$

x=\frac{4}{7}y+\frac{6}{7} मध्ये y साठी -\frac{1514}{27} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{7}\left(-\frac{1514}{27}\right)+\frac{6}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1514}{27} चा \frac{4}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{6056}{189}+\frac{6}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{6}{7} ते -\frac{6056}{189} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{842}{27}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{842}{27},y=-\frac{1514}{27}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-7x+4y=-6,2x-5y=218$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-4\times 2}&-\frac{4}{-7\left(-5\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{-7\left(-5\right)-4\times 2}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{27}&-\frac{4}{27}\\-\frac{2}{27}&-\frac{7}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\218\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{27}\left(-6\right)-\frac{4}{27}\times 218\\-\frac{2}{27}\left(-6\right)-\frac{7}{27}\times 218\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{842}{27}\\-\frac{1514}{27}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{842}{27},y=-\frac{1514}{27}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-7x+4y=-6,2x-5y=218$$

-7x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने गुणाकार करा.

$$2\left(-7\right)x+2\times 4y=2\left(-6\right),-7\times 2x-7\left(-5\right)y=-7\times 218$$

सरलीकृत करा.

$$-14x+8y=-12,-14x+35y=-1526$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -14x+8y=-12 मधून -14x+35y=-1526 वजा करा.

$$-14x+14x+8y-35y=-12+1526$$

-14x ते 14x जोडा. -14x आणि 14x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-35y=-12+1526$$

8y ते -35y जोडा.

$$-27y=-12+1526$$

-12 ते 1526 जोडा.

$$-27y=1514$$

दोन्ही बाजूंना -27 ने विभागा.

$$y=-\frac{1514}{27}$$

2x-5y=218 मध्ये y साठी -\frac{1514}{27} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-5\left(-\frac{1514}{27}\right)=218$$

-\frac{1514}{27} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{7570}{27}=218$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7570}{27} वजा करा.

$$2x=-\frac{1684}{27}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{842}{27}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{842}{27},y=-\frac{1514}{27}$$