{l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=10$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5y+8x=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8x वजा करा.

$$-5y=-8x-18$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-8x-18 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{8x+18}{5} चा विकल्प वापरा, 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

\frac{8x+18}{5} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$8x+18+2x=58$$

8x ते 2x जोडा.

$$10x+18=58$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$10x=40$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=4$$

y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

4 ला \frac{8}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{18}{5} ते \frac{32}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=10,x=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=10,x=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y आणि 5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

सरलीकृत करा.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -25y+40x=-90 मधून -25y-10x=-290 वजा करा.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

-25y ते 25y जोडा. -25y आणि 25y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$40x+10x=-90+290$$

40x ते 10x जोडा.

$$50x=-90+290$$

-90 ते 290 जोडा.

$$50x=200$$

दोन्ही बाजूंना 50 ने विभागा.

$$x=4$$

5y+2x=58 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+2\times 4=58$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$5y+8=58$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$5y=50$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=10,x=4$$