{l}{-5x+5y=-5}{-4x+2y=-14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 5 } \\ { - 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x+5y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$-5x=-5y-5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-5\right)$$

-5y-5 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+1 चा विकल्प वापरा, -4x+2y=-14.

$$-4\left(y+1\right)+2y=-14$$

y+1 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y-4+2y=-14$$

-4y ते 2y जोडा.

$$-2y-4=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-2y=-10$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=5$$

x=y+1 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=5+1$$

1 ते 5 जोडा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{2}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\\\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

-5x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$-4\left(-5\right)x-4\times 5y=-4\left(-5\right),-5\left(-4\right)x-5\times 2y=-5\left(-14\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20x-20y=20,20x-10y=70$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x-20y=20 मधून 20x-10y=70 वजा करा.

$$20x-20x-20y+10y=20-70$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20y+10y=20-70$$

-20y ते 10y जोडा.

$$-10y=20-70$$

20 ते -70 जोडा.

$$-10y=-50$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=5$$

-4x+2y=-14 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+2\times 5=-14$$

5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-4x+10=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$-4x=-24$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=5$$