{l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y मिळविण्यासाठी 5y आणि 3y एकत्र करा.

$$-5x+8y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x+8y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 6x+7 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2y-6x-7=-2$$

दोन्ही बाजूंना 7 जोडा.

$$2y-6x=-2+7$$

5 मिळविण्यासाठी -2 आणि 7 जोडा.

$$2y-6x=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-7x+8y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$-7x=-8y$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-8y ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{7}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y}{7} चा विकल्प वापरा, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

\frac{8y}{7} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

-\frac{48y}{7} ते 2y जोडा.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{34}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}y मध्ये y साठी -\frac{35}{34} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{35}{34} चा \frac{8}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{20}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y मिळविण्यासाठी 5y आणि 3y एकत्र करा.

$$-5x+8y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x+8y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 6x+7 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2y-6x-7=-2$$

दोन्ही बाजूंना 7 जोडा.

$$2y-6x=-2+7$$

5 मिळविण्यासाठी -2 आणि 7 जोडा.

$$2y-6x=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8y मिळविण्यासाठी 5y आणि 3y एकत्र करा.

$$-5x+8y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x+8y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 6x+7 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2y-6x-7=-2$$

दोन्ही बाजूंना 7 जोडा.

$$2y-6x=-2+7$$

5 मिळविण्यासाठी -2 आणि 7 जोडा.

$$2y-6x=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x आणि -6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने गुणाकार करा.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 42x-48y=0 मधून 42x-14y=-35 वजा करा.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

42x ते -42x जोडा. 42x आणि -42x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-48y+14y=35$$

-48y ते 14y जोडा.

$$-34y=35$$

दोन्ही बाजूंना -34 ने विभागा.

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5 मध्ये y साठी -\frac{35}{34} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

-\frac{35}{34} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{35}{17} जोडा.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=-\frac{20}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$