{l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=-6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-4x-10y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10y जोडा.

$$-4x=10y+20$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

20+10y ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}-5 चा विकल्प वापरा, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

-\frac{5y}{2}-5 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-20y-40+10y=20$$

-20y ते 10y जोडा.

$$-10y-40=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 40 जोडा.

$$-10y=60$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{2}y-5 मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-6 ला -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=15-5$$

-5 ते 15 जोडा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=-6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने गुणाकार करा.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -32x-80y=160 मधून -32x-40y=-80 वजा करा.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

-32x ते 32x जोडा. -32x आणि 32x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-80y+40y=160+80$$

-80y ते 40y जोडा.

$$-40y=160+80$$

160 ते 80 जोडा.

$$-40y=240$$

दोन्ही बाजूंना -40 ने विभागा.

$$y=-6$$

8x+10y=20 मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

-6 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$8x-60=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 60 जोडा.

$$8x=80$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=-6$$