{l}{-4x+5y=24}{y=2x} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-4x+5y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$-4x=-5y+24$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

-5y+24 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{4}-6 चा विकल्प वापरा, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

\frac{5y}{4}-6 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

-\frac{5y}{2} ते y जोडा.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=8$$

x=\frac{5}{4}y-6 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

8 ला \frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=10-6$$

-6 ते 10 जोडा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

-4x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने गुणाकार करा.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

सरलीकृत करा.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-10y=-48 मधून 8x-4y=0 वजा करा.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y+4y=-48$$

-10y ते 4y जोडा.

$$-6y=-48$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=8$$

-2x+y=0 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+8=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-2x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=8$$