{l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मिळविण्यासाठी -3x आणि -2x एकत्र करा.

$$-5x-y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मिळविण्यासाठी -6x आणि -x एकत्र करा.

$$-7x-15y=y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मिळविण्यासाठी -15y आणि -y एकत्र करा.

$$-7x-16y=-30$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x-y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$-5x=y-1$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

y-1 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+1}{5} चा विकल्प वापरा, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

\frac{-y+1}{5} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

\frac{7y}{5} ते -16y जोडा.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{7}{5} जोडा.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{73}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} मध्ये y साठी \frac{143}{73} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{143}{73} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{5} ते -\frac{143}{365} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{14}{73}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मिळविण्यासाठी -3x आणि -2x एकत्र करा.

$$-5x-y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मिळविण्यासाठी -6x आणि -x एकत्र करा.

$$-7x-15y=y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मिळविण्यासाठी -15y आणि -y एकत्र करा.

$$-7x-16y=-30$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मिळविण्यासाठी -3x आणि -2x एकत्र करा.

$$-5x-y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मिळविण्यासाठी -6x आणि -x एकत्र करा.

$$-7x-15y=y-30$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मिळविण्यासाठी -15y आणि -y एकत्र करा.

$$-7x-16y=-30$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

सरलीकृत करा.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 35x+7y=7 मधून 35x+80y=150 वजा करा.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

35x ते -35x जोडा. 35x आणि -35x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7y-80y=7-150$$

7y ते -80y जोडा.

$$-73y=7-150$$

7 ते -150 जोडा.

$$-73y=-143$$

दोन्ही बाजूंना -73 ने विभागा.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30 मध्ये y साठी \frac{143}{73} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

\frac{143}{73} ला -16 वेळा गुणाकार करा.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2288}{73} जोडा.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-\frac{14}{73}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$