{l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-3x+9y=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$-3x=-9y+27$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

-9y+27 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=3y-9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -9+3y चा विकल्प वापरा, -5x-8y=-1.

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

-9+3y ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y+45-8y=-1$$

-15y ते -8y जोडा.

$$-23y+45=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$-23y=-46$$

दोन्ही बाजूंना -23 ने विभागा.

$$y=2$$

x=3y-9 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times 2-9$$

2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=6-9$$

-9 ते 6 जोडा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

-3x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने गुणाकार करा.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-45y=-135 मधून 15x+24y=3 वजा करा.

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-45y-24y=-135-3$$

-45y ते -24y जोडा.

$$-69y=-135-3$$

-135 ते -3 जोडा.

$$-69y=-138$$

दोन्ही बाजूंना -69 ने विभागा.

$$y=2$$

-5x-8y=-1 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-8\times 2=-1$$

2 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$-5x-16=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 16 जोडा.

$$-5x=15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$