{l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-3x+15y=59$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15y वजा करा.

$$-3x=-15y+59$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

-15y+59 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 5y-\frac{59}{3} चा विकल्प वापरा, 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

5y-\frac{59}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$15y-59+4y=17$$

15y ते 4y जोडा.

$$19y-59=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 59 जोडा.

$$19y=76$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$y=4$$

x=5y-\frac{59}{3} मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

4 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

-\frac{59}{3} ते 20 जोडा.

$$x=\frac{1}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

-3x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने गुणाकार करा.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

सरलीकृत करा.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -9x+45y=177 मधून -9x-12y=-51 वजा करा.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

-9x ते 9x जोडा. -9x आणि 9x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$45y+12y=177+51$$

45y ते 12y जोडा.

$$57y=177+51$$

177 ते 51 जोडा.

$$57y=228$$

दोन्ही बाजूंना 57 ने विभागा.

$$y=4$$

3x+4y=17 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\times 4=17$$

4 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+16=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$3x=1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$