{l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x+y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$-2x=-y-1$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-y-1 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{1+y}{2} चा विकल्प वापरा, 4x-y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

\frac{1+y}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+2-y=-3$$

2y ते -y जोडा.

$$y+2=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

-5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते -\frac{5}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

-2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -8x+4y=-4 मधून -8x+2y=6 वजा करा.

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

-8x ते 8x जोडा. -8x आणि 8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-2y=-4-6$$

4y ते -2y जोडा.

$$2y=-4-6$$

-4 ते -6 जोडा.

$$2y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-5$$

4x-y=-3 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$4x=-8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-5$$