{l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x+7y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$-2x=-7y+4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-7y+4 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y}{2}-2 चा विकल्प वापरा, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

\frac{7y}{2}-2 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-14y+8+3y=2$$

-14y ते 3y जोडा.

$$-11y+8=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-11y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=\frac{6}{11}$$

x=\frac{7}{2}y-2 मध्ये y साठी \frac{6}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{6}{11} चा \frac{7}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

-2 ते \frac{21}{11} जोडा.

$$x=-\frac{1}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-28y=-16 मधून 8x-6y=-4 वजा करा.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-28y+6y=-16+4$$

-28y ते 6y जोडा.

$$-22y=-16+4$$

-16 ते 4 जोडा.

$$-22y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=\frac{6}{11}$$

-4x+3y=2 मध्ये y साठी \frac{6}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

\frac{6}{11} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{11} वजा करा.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$