{l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, B साठी सोडवा

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला A विलग करून, A साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-15A+3B=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3B वजा करा.

$$-15A=-3B+21$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-3B+21 ला -\frac{1}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये A साठी \frac{-7+B}{5} चा विकल्प वापरा, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

\frac{-7+B}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-\frac{3B}{5} ते -15B जोडा.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{21}{5} वजा करा.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{78}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5} मध्ये B साठी \frac{7}{6} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{7}{6} चा \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{7}{5} ते \frac{7}{30} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$A=-\frac{7}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे A आणि B घटक बाहेर काढा.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A आणि -3A समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -15 ने गुणाकार करा.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

सरलीकृत करा.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 45A-9B=-63 मधून 45A+225B=210 वजा करा.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

45A ते -45A जोडा. 45A आणि -45A रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9B-225B=-63-210$$

-9B ते -225B जोडा.

$$-234B=-63-210$$

-63 ते -210 जोडा.

$$-234B=-273$$

दोन्ही बाजूंना -234 ने विभागा.

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14 मध्ये B साठी \frac{7}{6} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

\frac{7}{6} ला -15 वेळा गुणाकार करा.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{35}{2} जोडा.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$A=-\frac{7}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$