{l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-12x-5y=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$-12x=5y+40$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

40+5y ला -\frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} चा विकल्प वापरा, 12x-11y=88.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

-\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y-40-11y=88$$

-5y ते -11y जोडा.

$$-16y-40=88$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 40 जोडा.

$$-16y=128$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$y=-8$$

x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3} मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

-8 ला -\frac{5}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{10}{3} ते \frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=-8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

-12x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -12 ने गुणाकार करा.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

सरलीकृत करा.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -144x-60y=480 मधून -144x+132y=-1056 वजा करा.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

-144x ते 144x जोडा. -144x आणि 144x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-60y-132y=480+1056$$

-60y ते -132y जोडा.

$$-192y=480+1056$$

480 ते 1056 जोडा.

$$-192y=1536$$

दोन्ही बाजूंना -192 ने विभागा.

$$y=-8$$

12x-11y=88 मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

-8 ला -11 वेळा गुणाकार करा.

$$12x+88=88$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 88 वजा करा.

$$12x=0$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-8$$