{l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-10y+9x=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9x वजा करा.

$$-10y=-9x-9$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

-9x-9 ला -\frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{9+9x}{10} चा विकल्प वापरा, 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

\frac{9+9x}{10} ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$9x+9+5x=-5$$

9x ते 5x जोडा.

$$14x+9=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$14x=-14$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10} मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

-1 ला \frac{9}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{10} ते -\frac{9}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=0,x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y आणि 10y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने गुणाकार करा.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -100y+90x=-90 मधून -100y-50x=50 वजा करा.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

-100y ते 100y जोडा. -100y आणि 100y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$90x+50x=-90-50$$

90x ते 50x जोडा.

$$140x=-90-50$$

-90 ते -50 जोडा.

$$140x=-140$$

दोन्ही बाजूंना 140 ने विभागा.

$$x=-1$$

10y+5x=-5 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$10y-5=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$10y=0$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-1$$