{l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-10x-7y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$-10x=7y-5$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

7y-5 ला -\frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} चा विकल्प वापरा, 7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

-\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

-\frac{49y}{10} ते 5y जोडा.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने गुणाकार करा.

$$y=5$$

x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

5 ला -\frac{7}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते -\frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

-10x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने गुणाकार करा.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -70x-49y=-35 मधून -70x-50y=-40 वजा करा.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

-70x ते 70x जोडा. -70x आणि 70x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-49y+50y=-35+40$$

-49y ते 50y जोडा.

$$y=-35+40$$

-35 ते 40 जोडा.

$$y=5$$

7x+5y=4 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+5\times 5=4$$

5 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+25=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25 वजा करा.

$$7x=-21$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=5$$