{l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-10x-6y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6y जोडा.

$$-10x=6y+12$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

12+6y ला -\frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y-6}{5} चा विकल्प वापरा, 4x+7y=-14.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

\frac{-3y-6}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

-\frac{12y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{24}{5} जोडा.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{23}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

-2 ला -\frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{6}{5} ते \frac{6}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

-10x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने गुणाकार करा.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -40x-24y=48 मधून -40x-70y=140 वजा करा.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

-40x ते 40x जोडा. -40x आणि 40x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-24y+70y=48-140$$

-24y ते 70y जोडा.

$$46y=48-140$$

48 ते -140 जोडा.

$$46y=-92$$

दोन्ही बाजूंना 46 ने विभागा.

$$y=-2$$

4x+7y=-14 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

-2 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-14=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 14 जोडा.

$$4x=0$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-2$$