{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-10x+20y=460$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20y वजा करा.

$$-10x=-20y+460$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-20y+460 ला -\frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=2y-46$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -46+2y चा विकल्प वापरा, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

-46+2y ला 30 वेळा गुणाकार करा.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y ते 60y जोडा.

$$120y-1380=1620$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1380 जोडा.

$$120y=3000$$

दोन्ही बाजूंना 120 ने विभागा.

$$y=25$$

x=2y-46 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\times 25-46$$

25 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=50-46$$

-46 ते 50 जोडा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=25$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=25$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x आणि 30x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 30 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने गुणाकार करा.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

सरलीकृत करा.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -300x+600y=13800 मधून -300x-600y=-16200 वजा करा.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x ते 300x जोडा. -300x आणि 300x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y ते 600y जोडा.

$$1200y=13800+16200$$

13800 ते 16200 जोडा.

$$1200y=30000$$

दोन्ही बाजूंना 1200 ने विभागा.

$$y=25$$

30x+60y=1620 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$30x+60\times 25=1620$$

25 ला 60 वेळा गुणाकार करा.

$$30x+1500=1620$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1500 वजा करा.

$$30x=120$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=25$$