{l}{(a+1)x+(b+2)y=12}{2x+3y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x + ( b + 2 ) y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \left(b+2\right)y वजा करा.

$$\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12$$

दोन्ही बाजूंना a+1 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)$$

-\left(b+2\right)y+12 ला \frac{1}{a+1} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-by-2y+12}{a+1} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=4.

$$2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4$$

\frac{-by-2y+12}{a+1} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4$$

-\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1} ते 3y जोडा.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{24}{a+1} वजा करा.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}$$

दोन्ही बाजूंना \frac{3a-1-2b}{a+1} ने विभागा.

$$y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1} मध्ये y साठी \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}$$

\frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} ला -\frac{b+2}{a+1} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}$$

\frac{12}{a+1} ते -\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)} जोडा.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

xa+x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना a+1 ने गुणाकार करा.

$$2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24 मधून \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4 वजा करा.

$$\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

2\left(1+a\right)x ते -2x-2xa जोडा. 2\left(1+a\right)x आणि -2x-2xa रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

2\left(2+b\right)y ते -3y-3ya जोडा.

$$\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4$$

24 ते -4-4a जोडा.

$$\left(1+2b-3a\right)y=20-4a$$

दोन्ही बाजूंना 2b+1-3a ने विभागा.

$$y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$

2x+3y=4 मध्ये y साठी \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

\frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a} वजा करा.

$$2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$