{l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

A, B साठी सोडवा

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. A+B ला 3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3A+3B-B=6$$

2B मिळविण्यासाठी 3B आणि -B एकत्र करा.

$$3A+2B=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 च्या पॉवरसाठी 3 मोजा आणि 9 मिळवा.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B ला 9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18A+9B-B=42$$

8B मिळविण्यासाठी 9B आणि -B एकत्र करा.

$$18A+8B=42$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला A विलग करून, A साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3A+2B=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2B वजा करा.

$$3A=-2B+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

-2B+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

इतर समीकरणामध्ये A साठी -\frac{2B}{3}+2 चा विकल्प वापरा, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

-\frac{2B}{3}+2 ला 18 वेळा गुणाकार करा.

$$-12B+36+8B=42$$

-12B ते 8B जोडा.

$$-4B+36=42$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 36 वजा करा.

$$-4B=6$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$B=-\frac{3}{2}$$

A=-\frac{2}{3}B+2 मध्ये B साठी -\frac{3}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{3}{2} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$A=1+2$$

2 ते 1 जोडा.

$$A=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. A+B ला 3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3A+3B-B=6$$

2B मिळविण्यासाठी 3B आणि -B एकत्र करा.

$$3A+2B=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 च्या पॉवरसाठी 3 मोजा आणि 9 मिळवा.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B ला 9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18A+9B-B=42$$

8B मिळविण्यासाठी 9B आणि -B एकत्र करा.

$$18A+8B=42$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे A आणि B घटक बाहेर काढा.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. A+B ला 3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3A+3B-B=6$$

2B मिळविण्यासाठी 3B आणि -B एकत्र करा.

$$3A+2B=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 च्या पॉवरसाठी 3 मोजा आणि 9 मिळवा.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B ला 9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18A+9B-B=42$$

8B मिळविण्यासाठी 9B आणि -B एकत्र करा.

$$18A+8B=42$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A आणि 18A समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 18 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

सरलीकृत करा.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 54A+36B=108 मधून 54A+24B=126 वजा करा.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

54A ते -54A जोडा. 54A आणि -54A रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36B-24B=108-126$$

36B ते -24B जोडा.

$$12B=108-126$$

108 ते -126 जोडा.

$$12B=-18$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$B=-\frac{3}{2}$$

18A+8B=42 मध्ये B साठी -\frac{3}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

-\frac{3}{2} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$18A-12=42$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$18A=54$$

दोन्ही बाजूंना 18 ने विभागा.

$$A=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$