{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z साठी सोडवा

$$y=18$$

$$z=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मिळविण्यासाठी 4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$y+2z=12$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 6,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मिळविण्यासाठी 2 आणि 7 चा गुणाकार करा.

$$5y+14z=48$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+2z=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2z वजा करा.

$$y=-2z+12$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -2z+12 चा विकल्प वापरा, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

-2z+12 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-10z+60+14z=48$$

-10z ते 14z जोडा.

$$4z+60=48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 60 वजा करा.

$$4z=-12$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$z=-3$$

y=-2z+12 मध्ये z साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=6+12$$

12 ते 6 जोडा.

$$y=18$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=18,z=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मिळविण्यासाठी 4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$y+2z=12$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 6,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मिळविण्यासाठी 2 आणि 7 चा गुणाकार करा.

$$5y+14z=48$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि z घटक बाहेर काढा.

$$y=18,z=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y+2z=4\times 3$$

12 मिळविण्यासाठी 4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$y+2z=12$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 6,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 मिळविण्यासाठी 2 आणि 7 चा गुणाकार करा.

$$5y+14z=48$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y आणि 5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

सरलीकृत करा.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5y+10z=60 मधून 5y+14z=48 वजा करा.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10z-14z=60-48$$

10z ते -14z जोडा.

$$-4z=60-48$$

60 ते -48 जोडा.

$$-4z=12$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$z=-3$$

5y+14z=48 मध्ये z साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

-3 ला 14 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-42=48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 42 जोडा.

$$5y=90$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=18$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=18,z=-3$$