{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे \frac{4}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 2\left(3x-4\right) ने गुणाकार करा, 3x-4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2y+2=3x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y+2-3x=-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 मिळविण्यासाठी -4 मधून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे -\frac{11}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3x+11 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=3x+11$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5x+y-3x=11$$

2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -3x एकत्र करा.

$$2x+y=11$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y-3x=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$2y=3x-6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

-6+3x ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{3x}{2}-3 चा विकल्प वापरा, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

\frac{3x}{2} ते 2x जोडा.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$\frac{7}{2}x=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=4$$

y=\frac{3}{2}x-3 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

4 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=6-3$$

-3 ते 6 जोडा.

$$y=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=3,x=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे \frac{4}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 2\left(3x-4\right) ने गुणाकार करा, 3x-4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2y+2=3x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y+2-3x=-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 मिळविण्यासाठी -4 मधून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे -\frac{11}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3x+11 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=3x+11$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5x+y-3x=11$$

2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -3x एकत्र करा.

$$2x+y=11$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=3,x=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे \frac{4}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 2\left(3x-4\right) ने गुणाकार करा, 3x-4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2y+2=3x-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y+2-3x=-4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 मिळविण्यासाठी -4 मधून 2 वजा करा.

$$2y-3x=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे -\frac{11}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3x+11 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=3x+11$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5x+y-3x=11$$

2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -3x एकत्र करा.

$$2x+y=11$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2y-3x=-6 मधून 2y+4x=22 वजा करा.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

2y ते -2y जोडा. 2y आणि -2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3x-4x=-6-22$$

-3x ते -4x जोडा.

$$-7x=-6-22$$

-6 ते -22 जोडा.

$$-7x=-28$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=4$$

y+2x=11 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+2\times 4=11$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y+8=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$y=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=3,x=4$$