{l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=13$$

$$y=11$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5 ला y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5y-35$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$2x-6-5y=-35$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 मिळविण्यासाठी -35 आणि 6 जोडा.

$$2x-5y=-29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13y वजा करा.

$$11x-13y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-5y=-29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$2x=5y-29$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

5y-29 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y-29}{2} चा विकल्प वापरा, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

\frac{5y-29}{2} ला 11 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

\frac{55y}{2} ते -13y जोडा.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{319}{2} जोडा.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{29}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=11$$

x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2} मध्ये y साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

11 ला \frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{29}{2} ते \frac{55}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5 ला y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5y-35$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$2x-6-5y=-35$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 मिळविण्यासाठी -35 आणि 6 जोडा.

$$2x-5y=-29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13y वजा करा.

$$11x-13y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=13,y=11$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5 ला y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x-6=5y-35$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$2x-6-5y=-35$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 मिळविण्यासाठी -35 आणि 6 जोडा.

$$2x-5y=-29$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 13y वजा करा.

$$11x-13y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

2x आणि 11x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 11 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

सरलीकृत करा.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 22x-55y=-319 मधून 22x-26y=0 वजा करा.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

22x ते -22x जोडा. 22x आणि -22x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-55y+26y=-319$$

-55y ते 26y जोडा.

$$-29y=-319$$

दोन्ही बाजूंना -29 ने विभागा.

$$y=11$$

11x-13y=0 मध्ये y साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$11x-13\times 11=0$$

11 ला -13 वेळा गुणाकार करा.

$$11x-143=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 143 जोडा.

$$11x=143$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=11$$