{l}{x/36-y=21}{x-y/20=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 36 ने गुणाकार करा.

$$x-36y=756$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 20 ने गुणाकार करा.

$$20x-y=320$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-36y=756$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 36y जोडा.

$$x=36y+756$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 756+36y चा विकल्प वापरा, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

756+36y ला 20 वेळा गुणाकार करा.

$$720y+15120-y=320$$

720y ते -y जोडा.

$$719y+15120=320$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15120 वजा करा.

$$719y=-14800$$

दोन्ही बाजूंना 719 ने विभागा.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

x=36y+756 मध्ये y साठी -\frac{14800}{719} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

-\frac{14800}{719} ला 36 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

756 ते -\frac{532800}{719} जोडा.

$$x=\frac{10764}{719}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 36 ने गुणाकार करा.

$$x-36y=756$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 20 ने गुणाकार करा.

$$20x-y=320$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 36 ने गुणाकार करा.

$$x-36y=756$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 20 ने गुणाकार करा.

$$20x-y=320$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

x आणि 20x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 20 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

सरलीकृत करा.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x-720y=15120 मधून 20x-y=320 वजा करा.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-720y+y=15120-320$$

-720y ते y जोडा.

$$-719y=15120-320$$

15120 ते -320 जोडा.

$$-719y=14800$$

दोन्ही बाजूंना -719 ने विभागा.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

20x-y=320 मध्ये y साठी -\frac{14800}{719} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{14800}{719} वजा करा.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$x=\frac{10764}{719}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$