{l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=15$$

$$y=-6$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=48$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+5y=15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+48$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

48+3y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}+24 चा विकल्प वापरा, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

\frac{3y}{2}+24 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

\frac{9y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 72 वजा करा.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-6$$

x=\frac{3}{2}y+24 मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

-6 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-9+24$$

24 ते -9 जोडा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=-6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=48$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+5y=15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=15,y=-6$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=48$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+5y=15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-9y=144 मधून 6x+10y=30 वजा करा.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-10y=144-30$$

-9y ते -10y जोडा.

$$-19y=144-30$$

144 ते -30 जोडा.

$$-19y=114$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=-6$$

3x+5y=15 मध्ये y साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

-6 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-30=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 30 जोडा.

$$3x=45$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=-6$$