{l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=12$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 3,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x+3y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 30 ने गुणाकार करा, 6,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मिळविण्यासाठी -6 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$5x-12y=-120$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+3y=105$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$5x=-3y+105$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

-3y+105 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{5}+21 चा विकल्प वापरा, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

-\frac{3y}{5}+21 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+105-12y=-120$$

-3y ते -12y जोडा.

$$-15y+105=-120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 105 वजा करा.

$$-15y=-225$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

15 ला -\frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-9+21$$

21 ते -9 जोडा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 3,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x+3y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 30 ने गुणाकार करा, 6,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मिळविण्यासाठी -6 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$5x-12y=-120$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=12,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 3,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x+3y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 30 ने गुणाकार करा, 6,5 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 मिळविण्यासाठी -6 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$5x-12y=-120$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+3y=105 मधून 5x-12y=-120 वजा करा.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y+12y=105+120$$

3y ते 12y जोडा.

$$15y=105+120$$

105 ते 120 जोडा.

$$15y=225$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=15$$

5x-12y=-120 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-12\times 15=-120$$

15 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-180=-120$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 180 जोडा.

$$5x=60$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=15$$