{l}{x/2+y/3=1}{x/3+y/2=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{y}{3} वजा करा.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

-\frac{y}{3}+1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{2y}{3}+2 चा विकल्प वापरा, \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{2}y=1$$

-\frac{2y}{3}+2 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}y=1$$

-\frac{2y}{9} ते \frac{y}{2} जोडा.

$$\frac{5}{18}y+\frac{2}{3}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2}{3} वजा करा.

$$\frac{5}{18}y=\frac{1}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{18} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{6}{5}$$

x=-\frac{2}{3}y+2 मध्ये y साठी \frac{6}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{6}{5}+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{6}{5} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{4}{5}+2$$

2 ते -\frac{4}{5} जोडा.

$$x=\frac{6}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18-12}{5}\\\frac{-12+18}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

\frac{x}{2} आणि \frac{x}{3} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{3} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{2} ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{3} मधून \frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y=\frac{1}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

\frac{x}{6} ते -\frac{x}{6} जोडा. \frac{x}{6} आणि -\frac{x}{6} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

\frac{y}{9} ते -\frac{y}{4} जोडा.

$$-\frac{5}{36}y=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते -\frac{1}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-\frac{5}{36}y=-\frac{1}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{36} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{6}{5}$$

\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1 मध्ये y साठी \frac{6}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{6}{5}=1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{6}{5} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$\frac{1}{3}x+\frac{3}{5}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{5} वजा करा.

$$\frac{1}{3}x=\frac{2}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{6}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{6}{5}$$