{l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 2,5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मिळविण्यासाठी 20 मधून 20 वजा करा.

$$10x+4y=5x+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मिळविण्यासाठी 10x आणि -5x एकत्र करा.

$$5x+4y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मिळविण्यासाठी -1 आणि 9 जोडा.

$$3x+3y=x+8$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3x+3y-x=8$$

2x मिळविण्यासाठी 3x आणि -x एकत्र करा.

$$2x+3y=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+4y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$5x=-4y+20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

-4y+20 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{5}+4 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

-\frac{4y}{5}+4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

-\frac{8y}{5} ते 3y जोडा.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$\frac{7}{5}y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{5}y+4 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 2,5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मिळविण्यासाठी 20 मधून 20 वजा करा.

$$10x+4y=5x+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मिळविण्यासाठी 10x आणि -5x एकत्र करा.

$$5x+4y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मिळविण्यासाठी -1 आणि 9 जोडा.

$$3x+3y=x+8$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3x+3y-x=8$$

2x मिळविण्यासाठी 3x आणि -x एकत्र करा.

$$2x+3y=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 2,5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 ला y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 मिळविण्यासाठी 20 मधून 20 वजा करा.

$$10x+4y=5x+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$10x+4y-5x=20$$

5x मिळविण्यासाठी 10x आणि -5x एकत्र करा.

$$5x+4y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x+3y=x-1+9$$

8 मिळविण्यासाठी -1 आणि 9 जोडा.

$$3x+3y=x+8$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$3x+3y-x=8$$

2x मिळविण्यासाठी 3x आणि -x एकत्र करा.

$$2x+3y=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+8y=40 मधून 10x+15y=40 वजा करा.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-15y=40-40$$

8y ते -15y जोडा.

$$-7y=40-40$$

40 ते -40 जोडा.

$$-7y=0$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=0$$

2x+3y=8 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x=8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=0$$