{l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -2 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+2\right) ने गुणाकार करा, y+2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3-2y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x-2y=4-3$$

1 मिळविण्यासाठी 4 मधून 3 वजा करा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 1 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y-1\right) ने गुणाकार करा, y-1,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6=y-1$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x-6-y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$3x-y=-1+6$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x-y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y+1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y+1}{3} चा विकल्प वापरा, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

\frac{2y+1}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+1-y=5$$

2y ते -y जोडा.

$$y+1=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

4 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते \frac{8}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -2 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+2\right) ने गुणाकार करा, y+2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3-2y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x-2y=4-3$$

1 मिळविण्यासाठी 4 मधून 3 वजा करा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 1 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y-1\right) ने गुणाकार करा, y-1,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6=y-1$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x-6-y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$3x-y=-1+6$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x-y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -2 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+2\right) ने गुणाकार करा, y+2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 ला y+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3=2y+4$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3-2y=4$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x-2y=4-3$$

1 मिळविण्यासाठी 4 मधून 3 वजा करा.

$$3x-2y=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 1 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y-1\right) ने गुणाकार करा, y-1,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6=y-1$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$3x-6-y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$3x-y=-1+6$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x-y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-2y=1 मधून 3x-y=5 वजा करा.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y+y=1-5$$

-2y ते y जोडा.

$$-y=1-5$$

1 ते -5 जोडा.

$$-y=-4$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=4$$

3x-y=5 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-4=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$3x=9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=4$$