{l}{k/L=100}{5k+50L=110} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

k, L साठी सोडवा

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल L हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना L ने गुणाकार करा.

$$k=100L$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी 100L चा विकल्प वापरा, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

100L ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$500L+50L=110$$

500L ते 50L जोडा.

$$550L=110$$

दोन्ही बाजूंना 550 ने विभागा.

$$L=\frac{1}{5}$$

k=100L मध्ये L साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

\frac{1}{5} ला 100 वेळा गुणाकार करा.

$$k=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल L हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना L ने गुणाकार करा.

$$k=100L$$

दोन्ही बाजूंकडून 100L वजा करा.

$$k-100L=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि L घटक बाहेर काढा.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल L हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना L ने गुणाकार करा.

$$k=100L$$

दोन्ही बाजूंकडून 100L वजा करा.

$$k-100L=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

k आणि 5k समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

सरलीकृत करा.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5k-500L=0 मधून 5k+50L=110 वजा करा.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

5k ते -5k जोडा. 5k आणि -5k रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-500L-50L=-110$$

-500L ते -50L जोडा.

$$-550L=-110$$

दोन्ही बाजूंना -550 ने विभागा.

$$L=\frac{1}{5}$$

5k+50L=110 मध्ये L साठी \frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

\frac{1}{5} ला 50 वेळा गुणाकार करा.

$$5k+10=110$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$5k=100$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$k=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$