{l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 ला 9x+4y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 ला 5x-11 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x मिळविण्यासाठी 18x आणि -15x एकत्र करा.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y मिळविण्यासाठी 8y आणि 6y एकत्र करा.

$$3x+14y+33=78$$

दोन्ही बाजूंकडून 33 वजा करा.

$$3x+14y=78-33$$

45 मिळविण्यासाठी 78 मधून 33 वजा करा.

$$3x+14y=45$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+14y=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14y वजा करा.

$$3x=-14y+45$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

-14y+45 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{14y}{3}+15 चा विकल्प वापरा, 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

-\frac{14y}{3}+15 ला 13 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-\frac{182y}{3} ते -7y जोडा.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 195 वजा करा.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{203}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{14}{3}y+15 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

3 ला -\frac{14}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-14+15$$

15 ते -14 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 ला 9x+4y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 ला 5x-11 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x मिळविण्यासाठी 18x आणि -15x एकत्र करा.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y मिळविण्यासाठी 8y आणि 6y एकत्र करा.

$$3x+14y+33=78$$

दोन्ही बाजूंकडून 33 वजा करा.

$$3x+14y=78-33$$

45 मिळविण्यासाठी 78 मधून 33 वजा करा.

$$3x+14y=45$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 ला 9x+4y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 ला 5x-11 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x मिळविण्यासाठी 18x आणि -15x एकत्र करा.

$$3x+8y+33=78-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y मिळविण्यासाठी 8y आणि 6y एकत्र करा.

$$3x+14y+33=78$$

दोन्ही बाजूंकडून 33 वजा करा.

$$3x+14y=78-33$$

45 मिळविण्यासाठी 78 मधून 33 वजा करा.

$$3x+14y=45$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x आणि 13x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 13 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

सरलीकृत करा.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 39x+182y=585 मधून 39x-21y=-24 वजा करा.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

39x ते -39x जोडा. 39x आणि -39x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$182y+21y=585+24$$

182y ते 21y जोडा.

$$203y=585+24$$

585 ते 24 जोडा.

$$203y=609$$

दोन्ही बाजूंना 203 ने विभागा.

$$y=3$$

13x-7y=-8 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$13x-7\times 3=-8$$

3 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$13x-21=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 21 जोडा.

$$13x=13$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$