{l}{3x+y/2=2}{y+1/x=-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 x + y } { 2 } = 2 } \\ { \frac { y + 1 } { x } = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=-11$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$3x+y=2\times 2$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x ने गुणाकार करा.

$$y+1=-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+1+2x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 1 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y+2x=-1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

-y+4 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4-y}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+y=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=-1$$

\frac{4-y}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}+y=-1$$

-\frac{2y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{3} वजा करा.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{11}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y=-11$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3} मध्ये y साठी -11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-11\right)+\frac{4}{3}$$

-11 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11+4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते \frac{11}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$3x+y=2\times 2$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x ने गुणाकार करा.

$$y+1=-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+1+2x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 1 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y+2x=-1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-\left(-1\right)\\-2\times 4+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=-11$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$3x+y=2\times 2$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल x हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना x ने गुणाकार करा.

$$y+1=-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+1+2x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 1 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$y+2x=-1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=4,2x+y=-1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+y=4 मधून 2x+y=-1 वजा करा.

$$3x-2x+y-y=4+1$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3x-2x=4+1$$

3x ते -2x जोडा.

$$x=4+1$$

4 ते 1 जोडा.

$$x=5$$

2x+y=-1 मध्ये x साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2\times 5+y=-1$$

5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$10+y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$y=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-11$$