{l}{3/5=x/y}{x-2/y=4/11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 5 } = \frac { x } { y } } \\ { \frac { x - 2 } { y } = \frac { 4 } { 11 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{66}{13} = 5\frac{1}{13} \approx 5.076923077$$

$$y = \frac{110}{13} = 8\frac{6}{13} \approx 8.461538462$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 5y ने गुणाकार करा, 5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3y=5x$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\times 5x$$

5x ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{5}{3}x$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{5x}{3} चा विकल्प वापरा, -4y+11x=22.

$$-4\times \frac{5}{3}x+11x=22$$

\frac{5x}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{20}{3}x+11x=22$$

-\frac{20x}{3} ते 11x जोडा.

$$\frac{13}{3}x=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{66}{13}$$

y=\frac{5}{3}x मध्ये x साठी \frac{66}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{5}{3}\times \frac{66}{13}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{66}{13} चा \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{110}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{110}{13},x=\frac{66}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 5y ने गुणाकार करा, 5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3y=5x$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$3y-5x=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 11y ने गुणाकार करा, y,11 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$11\left(x-2\right)=4y$$

11 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$11x-22=4y$$

दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$11x-22-4y=0$$

दोन्ही बाजूंना 22 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$11x-4y=22$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-5x=0,-4y+11x=22$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3\times 11-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 11-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 11-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 11-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{4}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 22\\\frac{3}{13}\times 22\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{13}\\\frac{66}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{110}{13},x=\frac{66}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 5y ने गुणाकार करा, 5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3y=5x$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$3y-5x=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 11y ने गुणाकार करा, y,11 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$11\left(x-2\right)=4y$$

11 ला x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$11x-22=4y$$

दोन्ही बाजूंकडून 4y वजा करा.

$$11x-22-4y=0$$

दोन्ही बाजूंना 22 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$11x-4y=22$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-5x=0,-4y+11x=22$$

3y आणि -4y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 3y-4\left(-5\right)x=0,3\left(-4\right)y+3\times 11x=3\times 22$$

सरलीकृत करा.

$$-12y+20x=0,-12y+33x=66$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12y+20x=0 मधून -12y+33x=66 वजा करा.

$$-12y+12y+20x-33x=-66$$

-12y ते 12y जोडा. -12y आणि 12y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20x-33x=-66$$

20x ते -33x जोडा.

$$-13x=-66$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$x=\frac{66}{13}$$

-4y+11x=22 मध्ये x साठी \frac{66}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4y+11\times \frac{66}{13}=22$$

\frac{66}{13} ला 11 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+\frac{726}{13}=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{726}{13} वजा करा.

$$-4y=-\frac{440}{13}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=\frac{110}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{110}{13},x=\frac{66}{13}$$