{l}{11/6x-7-1/3y=7}{11/6y-7/2-frac{1}{3}x=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 11 } { 6 } x - 7 - \frac { 1 } { 3 } y = 7 } \\ { \frac { 11 } { 6 } y - \frac { 7 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } x = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{322}{39} = 8\frac{10}{39} \approx 8.256410256$$

$$y = \frac{133}{39} = 3\frac{16}{39} \approx 3.41025641$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7 जोडा.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{y}{3} जोडा.

$$\frac{11}{6}x=\frac{1}{3}y+14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{6}{11}\left(\frac{1}{3}y+14\right)$$

\frac{y}{3}+14 ला \frac{6}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{84+2y}{11} चा विकल्प वापरा, -\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{11}y+\frac{84}{11}\right)+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

\frac{84+2y}{11} ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{33}y-\frac{28}{11}+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

-\frac{2y}{33} ते \frac{11y}{6} जोडा.

$$\frac{39}{22}y-\frac{28}{11}-\frac{7}{2}=0$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{28}{11} ते -\frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$\frac{39}{22}y-\frac{133}{22}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{133}{22} जोडा.

$$\frac{39}{22}y=\frac{133}{22}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{39}{22} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{133}{39}$$

x=\frac{2}{11}y+\frac{84}{11} मध्ये y साठी \frac{133}{39} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{11}\times \frac{133}{39}+\frac{84}{11}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{133}{39} चा \frac{2}{11} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{266}{429}+\frac{84}{11}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{84}{11} ते \frac{266}{429} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{322}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{11}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{11}{6}}{\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{4}{39}&\frac{22}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{39}\times 14+\frac{4}{39}\times \frac{7}{2}\\\frac{4}{39}\times 14+\frac{22}{39}\times \frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{322}{39}\\\frac{133}{39}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{11}{6}x-\frac{1}{3}y-7=7,-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0$$

\frac{11x}{6} आणि -\frac{x}{3} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -\frac{1}{3} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{11}{6} ने गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{11}{6}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y-\frac{1}{3}\left(-7\right)=-\frac{1}{3}\times 7,\frac{11}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{11}{6}\times \frac{11}{6}y+\frac{11}{6}\left(-\frac{7}{2}\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3},-\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y+\frac{7}{3}=-\frac{7}{3} मधून -\frac{11}{18}x+\frac{121}{36}y-\frac{77}{12}=0 वजा करा.

$$-\frac{11}{18}x+\frac{11}{18}x+\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

-\frac{11x}{18} ते \frac{11x}{18} जोडा. -\frac{11x}{18} आणि \frac{11x}{18} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{9}y-\frac{121}{36}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

\frac{y}{9} ते -\frac{121y}{36} जोडा.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{7}{3}+\frac{77}{12}=-\frac{7}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{3} ते \frac{77}{12} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-\frac{13}{4}y+\frac{35}{4}=-\frac{7}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{35}{4} वजा करा.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{133}{12}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{13}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{133}{39}$$

-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}y-\frac{7}{2}=0 मध्ये y साठी \frac{133}{39} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{11}{6}\times \frac{133}{39}-\frac{7}{2}=0$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{133}{39} चा \frac{11}{6} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1463}{234}-\frac{7}{2}=0$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1463}{234} ते -\frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{322}{117}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{322}{117} वजा करा.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{322}{117}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{322}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{322}{39},y=\frac{133}{39}$$