{l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस x जोडा.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

x+\frac{1}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 5x+\frac{5}{2} चा विकल्प वापरा, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

5x+\frac{5}{2} ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

-\frac{5x}{2} ते 3x जोडा.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{4} जोडा.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2} मध्ये x साठी \frac{45}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

\frac{45}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते \frac{225}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=115$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} आणि -\frac{y}{2} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -\frac{1}{2} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{5} ने गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} मधून -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 वजा करा.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{y}{10} ते \frac{y}{10} जोडा. -\frac{y}{10} आणि \frac{y}{10} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{x}{2} ते -\frac{3x}{5} जोडा.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{1}{4} ते -2 जोडा.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10 मध्ये x साठी \frac{45}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

\frac{45}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{135}{2} वजा करा.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$y=115$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$