{l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 2,12,3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 ला 2x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -8x एकत्र करा.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

दोन्ही बाजूंना 20y जोडा.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y मिळविण्यासाठी -2y आणि 20y एकत्र करा.

$$-2x-1+18y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 मिळविण्यासाठी -21 आणि 1 जोडा.

$$-2x+18y=-20$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x+18y=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18y वजा करा.

$$-2x=-18y-20$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

-18y-20 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=9y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 9y+10 चा विकल्प वापरा, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

9y+10 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

\frac{9y}{5} ते \frac{2y}{7} जोडा.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{73}{35} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=9y+10 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

-1 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-9+10$$

10 ते -9 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 2,12,3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 ला 2x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -8x एकत्र करा.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

दोन्ही बाजूंना 20y जोडा.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y मिळविण्यासाठी -2y आणि 20y एकत्र करा.

$$-2x-1+18y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 मिळविण्यासाठी -21 आणि 1 जोडा.

$$-2x+18y=-20$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 2,12,3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 ला 2x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

दोन्ही बाजूंकडून 8x वजा करा.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -8x एकत्र करा.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

दोन्ही बाजूंना 20y जोडा.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y मिळविण्यासाठी -2y आणि 20y एकत्र करा.

$$-2x-1+18y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20 मिळविण्यासाठी -21 आणि 1 जोडा.

$$-2x+18y=-20$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x आणि \frac{x}{5} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{5} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 मधून -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} वजा करा.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

-\frac{2x}{5} ते \frac{2x}{5} जोडा. -\frac{2x}{5} आणि \frac{2x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{18y}{5} ते \frac{4y}{7} जोडा.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

-4 ते -\frac{6}{35} जोडा.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{146}{35} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

-1 ला \frac{2}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2}{7} जोडा.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-1$$