{c}{y=2x+2}{4x-y=-6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x + 2 } \\ { 4 x - y = - 6 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-2x=2,-y+4x=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-2x=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2x जोडा.

$$y=2x+2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 2+2x चा विकल्प वापरा, -y+4x=-6.

$$-\left(2x+2\right)+4x=-6$$

2+2x ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-2+4x=-6$$

-2x ते 4x जोडा.

$$2x-2=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$2x=-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-2$$

y=2x+2 मध्ये x साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2\left(-2\right)+2$$

-2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-4+2$$

2 ते -4 जोडा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-2x=2,-y+4x=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-6\\\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-2,x=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-2x=2,-y+4x=-6$$

y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-y-\left(-2x\right)=-2,-y+4x=-6$$

सरलीकृत करा.

$$-y+2x=-2,-y+4x=-6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y+2x=-2 मधून -y+4x=-6 वजा करा.

$$-y+y+2x-4x=-2+6$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-4x=-2+6$$

2x ते -4x जोडा.

$$-2x=-2+6$$

-2 ते 6 जोडा.

$$-2x=4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-2$$

-y+4x=-6 मध्ये x साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+4\left(-2\right)=-6$$

-2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-y-8=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$-y=2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-2$$