{c}{x-3=y}{4x=37+3y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=28$$

$$y=25$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$4x-3y=37$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+3 चा विकल्प वापरा, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

y+3 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$4y+12-3y=37$$

4y ते -3y जोडा.

$$y+12=37$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$y=25$$

x=y+3 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=25+3$$

3 ते 25 जोडा.

$$x=28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=28,y=25$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$4x-3y=37$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=28,y=25$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-3-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$x-y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$4x-3y=37$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

सरलीकृत करा.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x-4y=12 मधून 4x-3y=37 वजा करा.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y+3y=12-37$$

-4y ते 3y जोडा.

$$-y=12-37$$

12 ते -37 जोडा.

$$-y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=25$$

4x-3y=37 मध्ये y साठी 25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-3\times 25=37$$

25 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-75=37$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 75 जोडा.

$$4x=112$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=28,y=25$$